مدل کیوبلکا مانک:
یک مدل ساده و فرضی است که در اصل اتفاق نمی افتد اما در عمل بسیار خوب جواب می دهد. مدل کیوبلکا مانک یک مدل دو کاناله است یعنی تمامی نورهای رو به پایین (i) در یک کانال و همه نورهای رو به بالا (j) در کانال دیگر قرار می گیرند.
فرضیات مدل کیوبلکا مانک:
۱- انعکاس سطحی وقتی ضریب شکست تغییر می کند در نظر گرفته نشده است و اینطور فرض شده است که نور در سطح تماس دو محیط دچار انعکاس نمی گردد.
۲- تمامی نورها در ۲ کانال قرار دارند.
۳- یک لایه نیمه شفاف بسیار نازک (ضریب جذب K و ضریب انتشار S) بر روی زمینه ای با انعکاس Rg قرار گرفته است.
رابطه فوق در شکل بالا یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است که برای حل آن شرایط زیر را در نظر می گیریم:
۱- در هر ضخامتی (عمقی) از X، P معرف نسبت پرتوهای رو به بالا به پرتوهای رو به پایین است. لذا هنگامی که X=0 باشد مقدار P با انعکاس زمینه یعنی Rg برابر است.
۲- هنگامی که P=X باشد مقدار P می بایست برابر با R، انعکاس لایه باشد.
معادله اصلی کیوبلکا مانک نشان می دهد که انعکاس یک لایه نیمه شفاف تابع پارامترهای K، S، X و Rg است.
برای اینکه یک لایه نیمه شفاف به سمت شفاف بودن حرکت کند لازم است ضریب انتشار آن (S) به سمت صفر میل کند (شکل زیر).
مقایسه این رابطه (حاصل از معادله کیوبلکا مانک) با رابطه بیر لامبرت که در تصویر زیر بیان شده است نشان دهنده این است که این دو رابطه از یک جنس هستند و تنها یک توان ۲ و ضریب Rg در رابطه کیوبلکا مانک تفاوت این دو معادله است.
ضریب ۲ در توان رابطه اخیر نشان می دهد که طول عبور نور ۲ برابر شده است که یک نتیجه واقعی محسوب می شود زیرا هنگامی که یک لایه شفاف را بر روی یک لایه پشت پوش قرار می دهیم، پرتوهای نور در هنگام عبور از جسم و برخورد به زمینه از لایه شفاف خارج می شود فلذا طول عبور دقیقا دو برابر شده است.
از سوی دیگر قانون بیر لامبرت بر مبنای محاسبه نور منتقل شده از جسم شفاف طراحی گردیده است. در حالی که اگر جسم شفاف بر روی زمینه ای با انعکاس Rg قرار گیرد نورهای منتقل شده از جسم به لایه زیر برخورد کرده و متناسب با Rg مقداری از آن جذب می گردد و مقدار جذب شده که همان نور منعکس شده است مجددا از لایه عبور کرده و انعکاس مجموعه پیچیده را فراهم می کند. لذا در چنین حالتی انعکاس زمینه بصورت یک ضریب در رابطه کیوبلکا مانک وجود دارد .
اگر S یا X به سمت بینهایت میل کند آنگاه لایه پشت پوش خواهد بود. با توجه به اینکه در این حالت e-bsx در مقابل ebsx بینهایت ناچیز است در چنین حالتی coth bsx=1 و معادله به شکل زیر تبدیل خواهد شد.
این رابطه تنها از لحاظ زبانی به معادله کیوبلکا مانک معروف است که بصورت خلاصه که در تصویر زیر آمده است معروف می باشد. در این رابطه عملا Rg بی تاثیر است زیرا جسم آنقدر ضخیم شده است که پشت پوش شده است.
R نیمه شفاف به ۴ عامل بستگی دارد که عبارتند از: ضریب انتشار، ضریب جذب، انعکاس زمینه و ضخامت.
R پشت پوش فقط به ضریب انتشار و ضریب جذب بستگی دارد. در جسم شفاف معادله بیرلامبرت صادق است و تنها تفاوت یک ضریب ۲ و Rg در معادله کیوبلکا مانک است.
توصیف اولیه ها (بدست آوردن ضرایب جذب و انتشار):
با دسترسی به ضرایب جذب و انتشار می توان به کمک یکی از نظریه های ۲ ثابتی و یا یک ثابتی کیوبلکا مانک این نسبت را محاسبه نمود.
با دانستن Ki و Si هر اولیه می توان Kmix و Smix مخلوط اولیه ها را بدست آورد و همچنین با داشتن R می توان رنگ جسم را زیر منبع نوری مشخص بدست آورد.
توصیف اولیه ها یعنی دانستن S و K اولیه ها و با دانستن این موارد با غلظت های مختلف می توان رنگ را پیش بینی نمود.
سوالی که در اینجا پیش می آید عبارتست از اینکه چه ارتباطی بین ضریب جذب و انتشار یک مخلوط با ضرایب جذب و انتشار تک تک اجزای یک مخلوط وجود دارد؟ به منظور پاسخ به این سوال دو نظریه وجود دارد که در ذیل توضیح داده شده است.
نظریه اول: در این نظریه که به نظریه دو ثابتی کیوبلکا مانک معروف است هر ذره موجود در مخلوط هم خاصیت جذب و هم قابلیت انتشار نور را دارد (مانند مخلوط رنگ های پوشاننده سطوح که هر ذره پیگمنت هم قابلیت جذب و هم انتشار نور را دارد). این نظریه برای رنگ ها و همچنین مخلوط الیاف از قبل رنگ شده صادق است بطوری که C همان درصد جزء در مخلوط است.
نظریه دوم: در مخلوط الیاف از قبل رنگ شده و الیاف سفید مخلوطی که برای رنگرزی آماده می شوند از نظریه تک ثابتی کیوبلکا مانک استفاده می شود.
برای رنگ های نساجی چون در ابتدا رنگ ها بصورت محلول یعنی مولکولی در می آیند و سپس جذب صورت می پذیرد، عملا انتشار آنها به سمت صفر میل می کند و بنابراین از تقسیم رابطه های Kmix و Smix به رابطه زیر خواهیم رسید:
دراجسام نیمه شفاف، دو نوع انعکاس سطحی اتفاق می افتد. بخشی از انعکاس سطحی در اولین مرحله ورود نور به جسم روی می دهد که این نوع انعکاس را با k1 نشان می دهیم و مقدار آن با توجه به اینکه نورها موازی و عمود بر جسم در نظر گرفته می شوند چندان بزرگ نیست. نورهای وارد شده به محیط توسط ذرات موجود پراکنده می گردند و از زاویه عمود بر جسم دور می شوند که مقدار انعکاس سطحی در این حالت بسیار بزرگتر است (k2).
رابطه زیر ارتباط بین انعکاس حاصل از نظریه کیوبلکا مانک (∞R) و انعکاس اندازه گیری شده (Rm) را نشان می دهد. این پدیده در رنگ های پوشاننده سطوح که اختلاف زیادی بین ضریب شکست رزین و پیگمنت ها وجود دارد می بایست به کار رود و تحت عنوان اصلاح ساندرون شناخته می شود.
روش های مختلفی برای بدست آوردن مقادیر K1 و K2 وجود دارد.
در حالی که الیاف بصورت معلق در هوا تصور می گردد لذا انعکاس سطحی آنان چندان زیاد نیست در حالیکه وجود دارد. از آنجایی که مقدار انعکاس سطحی الیاف در مقایسه با رنگ ها چندان زیاد نیست و فرضیات نظریه کیوبلکا مانک به دلیل غیرواقعی بودن خطای بیشتری را نسبت به در نظر نگرفتن انعکاس سطحی برای ما فراهم می کند لذا ضرورتی به در نظر گرفتن پدیده انعکاس سطحی در منسوجات یعنی استفاده از رابطه زیر وجود ندارد و تنها برای رنگ ها استفاده می گردد.
توصیف رنگ یعنی بدست آوردن S و K و یا نسبت K بر روی S. برای پیگمنت ها S و K و برای رنگ ها K برای رنگزا ولی S که کوچک است برای زمینه است.
برای بدست آوردن K بر روی S زمینه، از یک رنگرزی تهی استفاده می شود یعنی تمامی سیکل رنگرزی و نسخه بدون رنگزا انجام می شود (Mock Dyeing).
در حالت بالا از یک غلظت مشخص برای یک اولیه استفاده می شود. روش استفاده از یک غلظت مشخص جهت تعیین k بر روی s واحد اگر چه بسیار ساده است ولی در عمل با خظاهای قابل توجهی همراه است. در واقع وجود انعکاس سطحی باعث می گردد که حتی در غلظت های بالا نیز انعکاس نمونه صفر نشود.
به علاوه الیاف قابلیت اشباع به خصوصی دارند و با افزایش غلظت به نقطه ای خواهیم رسید که گروه های رنگ پذیر در لیف به سادگی در اختیار نیستند. همچنین Ring Dyeing بر انعکاس نمونه اثر می گذارد فلذا رنگرزی حلقه ای خود عاملی برای انحراف از رابطه خطی بین k بر روی s و غلظت است.
در مخلوط مواد رنگزا بلوکه شدن رنگزاها توسط یکدیگر نیز پیش می آید یعنی اطلاعاتی که از بکارگیری یک رنگزا بصورت انفرادی در حمام رنگزا بدست آمده است می تواند با نتایجی که آن رنگزا در مخلوط از خود نشان می دهد متفاوت باشد به بیان دیگر یک رنگزا توسط رنگزاهای دیگر با جذب تاخیر یافته ای روبرو می شوند.
برای رفع پاره ای از مشکلات و به حداقل رساندن خطاهای قبلی از روش استفاده از یک رنگزا در غلظت های مختلف استفاده می شود. بطور مثال از ۸ غلظت مختلف از رنگزا روی لیف استفاده می شود. تلاش می گردد محدوده غلظت بکار رفته در محدوده رفتار خطی رنگزا قرار گیرد.
می توانیم برای هر یک از غلظت ها رابطه زیر را بنویسیم:
K بر روی S مخلوط m در طول موج مشخص از روی اندازه گیری انعکاس نمونه با غلظت مشخص رنگ بدست می آید. C1 تا Cm نیز غلظت های بکار رفته می باشند.
در این حالت از روش حداقل مربعات خطا به منظور محاسبه مجهول موجود می توان استفاده نمود که به شرح زیر است:
به راحتی اثبات می گردد که روش فوق به کمترین جمع حداقل مربعات بین باقیمانده معادلات ختم می شود و به بیان دیگر روش ساده فوق مشکل وابستگی k بر روی s واحد حاصله را با غلظت به این روش حل نموده است.
برای رفع مشکل انعکاس سطحی می توانیم محدوده خطی بودن k بر روی s در مقابل غلظت را با کسر نمودن یک مقدار ثابت که از روی مقدار R در بیشترین غلظت بدست می آید، محدوده اش را بزرگتر کنیم و یا از روش اصلاح ساندرسون استفاده می کنیم، اگرچه این اصلاح در منسوجات چندان حائز اهمیت نیست.
مشکل اصلی در تعیین k بر روی s واحد مواد رنگزا این است که داده های حاصل از بکارگیری یک رنگزا بصورت انفرادی حتی در غلظت های مختلف می تواند با آنچه که در مخلوط حاصل می شود به دلیل واکنش متقابل رنگزاها متفاوت باشد.
روشی توسط والویت و همکارانش برای حل مشکل فوق در نظریه دو ثابتی ارائه شده است که می توان آن را به نظریه یک ثابتی نیز تعمیم داد.
در این روش اگر n اولیه وجود داشته باشد،از این n اولیه، m مخلوط می سازیم بطوری که m بزرگتر از n باشد (این موضوع در روش های بهینه سازی توصیه شده است). بنابراین برای این مجموعه از مخلوط ها می توان روابط زیر را نوشت و دستگاه به شرح زیر حل می شود. K بر روی s در u واحد، قدرت رنگ را بر روی زمینه با انتشار s نمایش داده و یک ویژگی مستقل از غلظت رنگ است (اما به زمینه بستگی دارد).
با توجه به اینکه تعداد مخلوط ها بزرگتر از تعداد اولیه ها است، با یک سیستم فوق تعریف شده روبرو خواهیم بود و برای حل آن با روش حداقل مربعات خطا لازم است دو طرف معادله در ترانهاده ماتریس KSCOEF مطابق با شکل زیر ضرب گردد. در این رابطه، در کلیه طول موج ها به منظور بدست آوردن K بر روی S واحد تکرار می گردد تا اولیه ها به این روش تعریف گردند.
انتظار می رود ضریب جذب یک پیگمنت سفید بسیار کوچک باشد. با اندازه گیری مقدار انعکاس نمونه مخلوط و نمونه خالص می توانیم روابط زیر را بنویسیم:
با توجه به اینکه Cw، Cp، Kw و Sw همگی مشخص هستند لذا دو مجهول Kp و Sp از دو معادله فوق بدست می آید. روش فوق در عمل با خطای زیادی روبرو است و به منظور رفع خطای فوق از روش نردبان رنگی (Tint leader) استفاده می شود. در این روش از ۵ تا ۸ نسبت مختلف از پیگمنت رنگی و سفید شامل رنگ خالص (Masstone) و سفید استفاده می شود.
معادله فوق بصورت فوق تعریف شده است یعنی ما در مجهول (Kp و Sp) داریم در حالی که تعداد مشاهدات بسیار بیشتر است. در این حالت برای بدست آوردن KANDS دو طرف معادله را ضربدر ترانهاده ضریب آن می کنیم.
لازم به ذکر است که بر اساس نظریه کیوبلکا مانک، دیمانسیون K بر روی S برابر است با L-1
در عمل چون ضخامتی بسیار نازک در حد میکرون از رنگ های پوشاننده سطوح بکار برده می شود بیان ضرایب جذب و انتشار با واحدهای طولی چندان دقیق نیست و لذا عموما اندازه گیری ها بر مبنای وزن در سطح مربع می شوند. بدین منظور یک سطح با مساحت یک متر مربع در نظر گرفته می شود.
مقدار رنگزایی که برای مخفی سازی چنین مساحتی مورد استفاده قرار می گیرد به عنوان قابلیت پنهان سازی پیگمنت شناخته شده فلذا ضرایب جذب و انتشار بر مبنای چنین واحدی بیان می شود.
به هر حال بدست آوردن ضرایب جذب و انتشار بصورت مطلق چندان ساده نیست و آنچه محاسبه می گردد شبیه ضرایب جذب و انتشار ذره رنگی است.
بطور مثال در دو روش ذکر شده برای بدست آوردن ضرایب جذب و انتشار فرض کردیم Sw برابر با ۱ است و بنابراین Kp و Sp شبیه ضرایب جذب و انتشار هستند و بر مبنای این فرض بدست آورده شده اند.
در سال های اخیر الگوریتمی برای بهینه نمودن ضرایب جذب و انتشار کیوبلکا مانک توسط Walovite و همکارانش با بکارگیری از رگرسیون خطی حداقل مربعات خطا ارائه شده است که دارای مزایای زیر نسبت به دو روش قبلی می باشد:
الف- ضرایب جذب و انتشار بدون نیاز به فراهم نمودن مخلوط های دوتایی سفید و پیگمنت مورد نظر محاسبه می شوند و آرشیو جمع آوری شده از مخلوط اولیه های مورد نظر بدون محدودیت در تعداد و یا نوع آنها مورد استفاده قرار می گیرد.
ب- ویژگی رنگ ها به همان طریقی که بعدا مورد استفاده قرار می گیرند محاسبه می شود.
ج- روش رگرسیون خطی حداقل مربعات خطا بسیار انعطاف پذیر است.
